연재는 매일 아침 7시에 이루어질 예정이다.

2장에 이어 3장을 공부해보자.

2장. 위상공간과 연속함수: Topological Spaces and Continuous Functions

위상공간 (topological spaces)

드디어 위상수학이라고 할 수 있는 첫 단원에 발을 내딛었다. 🤗
독자가 1장의 개념에는 이미 익숙하다고 보고, 바로 위상의 정의부터 시작하겠다. 헷갈리는 용어는 억지로 번역하지 않고 원어 그대로 실었다.

Def. A Topology on a set $X$ is a collection $\mathscr{T} \subset \mathscr{P}(X)$ having the following properties [1]

(1) $∅$ and $X$ are in $\mathscr{T}$.
(2) The union of the elements of any subcollection of $\mathscr{T}$ is in $\mathscr{T}$.
(3) The intersection of the elements of any finite subcollection of $\mathscr{T}$ is in $\mathscr{T}$ .

말이 어렵다! 그렇지만 이럴 때에는 그림으로 쉽게 이해해보도록 하자. 어느 분야의 기초적인 개념일수록 더욱 절실하게 필요한 과정이다.

아래 그림을 보시라.

위상

검은 점을 집합 $X$의 원소라고 하고, 타원을 $X$의 부분집합이라고 하자. 그리고 그 타원들을 모두 묶은 집합을 $\mathscr{T}$라고 하자. 각 그림의 왼쪽 위에 놓인 작은 원은 공집합을 나타낸다.

5번째 그림에서, $\mathscr{T}$는 위상이 아니다. {2}와 {3}의 합집합인 {2, 3}이 부재하기 때문이다.
6번째 그림에서, $\mathscr{T}$는 위상이 아니다. {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 부재하기 때문이다.

자, 여기까지 따라왔다면 당신은 어떤 상황에서 $\mathscr{T}$가 위상이 되지 못하는지 감을 잡았을 것이다.

이제 다양한 위상의 종류를 소개하겠다.

discrete topology: $\mathscr{P}(X)$, 즉 X의 멱집합

indiscrete topology (trivial topology): X와 ∅만 원소로 가지는 위상

finite complement topology (cofinite topology, 쌍대유한위상):
$X-U$가 유한이거나 $U$가 ∅인 (이 성질을 cofiniteness라고 한다) $U \subset X$들의 집합(Collection).

대충 finer, coarser, comparable 얘기

위상의 기저 (Basis of Topology)

위상의 기저는 위상을 기술하는데 매우 편리하다.

순서 위상 (Order Topology)

곱 위상 (Product Topology)

부분공간의 위상 (Subspace Topology)

닫힌 집합과 극한점 (Closed Sets and Limit Points)

U가 x의 근방에 있다는 말을 자주 쓴다. “$U$ is a neighborhood of $x$”

하우스도르프 공간 (Hausdorff Spaces)

Def. $X$의 모든 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여 각각 서로소(disjoint)인 근방 $U_1$, $U_2$이 존재하는 위상공간 $X$

연속함수 (Continuous Functions)

위상수학을 공부하기 전에, 우리는 미적분학과 해석학에서 연속함수의 정의를 계속 확장해왔다. 이제 우리는 그 정의가 가장 일반적으로 확장된 결과를 다룰 것이다. (수학은 이런 일이 너무 비일비재하다)

Def. A function $f : X \rightarrow Y$ is continuous iff. $\forall$ open subset V of Y, $f^{-1}(V)$ is an open subset of $X$

만약 $f : X \rightarrow Y$가 bijection이고, 역함수 $f^{-1} : Y \rightarrow X$가 연속이면,
이 함수 $f$를 위상동형사상(homeomorphism)이라고 부른다.

참고자료

[1] Munkres, James R.. Topology. 2nd ed.

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각주

[1]: 여기서 $\mathscr{P}(X)$는 X의 모든 부분집합들의 집합인 멱집합을 말하고, 필기체로 된 $\mathscr{T}$는 Topology의 맨 앞글자 T를 따서 위상이라는 의미를 나타낸다.

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