[수학] 위상수학 01장

개요

현대대수 공부를 일단락한 후, 흥미가 생겨 Munkres Topology 2ed.를 공부하고 있다. 열심히 공부한 내용을 복습할 겸, 같이 스터디를 하고 있있는 친구들에게도 (대부분이 육군에 있다) 도움이 될까 하여 블로그 연재를 개시한다.

연재는 매일 아침 7시에 이루어질 예정이다.

1장. Set Theory and Logic

위상수학을 이해하기 위한 기본적인 개념을 제대로 알고 있는지 점검해보자.
상대적으로 어려운 주제는 볼드처리했다.

• §1. 집합과 원소
  • 포함(inclusion), 진부분집합(proper subset)
  • 합집합(union), 교집합(intersection)
  • 공집합(empty set), 서로소인 집합(disjoint)
  • 차집합(difference of two sets), 여집합(complement)
  • 멱집합(power set), 집합족^[1](collection of sets)
  • 집합족의 합집합 (임의의 합집합) \(\bigcup \mathcal{M} = \bigcup\limits_{A\in\mathcal{M}} A\)
  • 곱집합(cartesian product)
  • 명제
    • 명제의 역(converse)과 대우(contrapositive), 그리고 부정(negation)
  • 집합의 연산
    • Union, Intersection 연산은 distributive
    • 드모르간의 법칙
• §2. 함수
  • 정의역(domain), 공역(codomain), 치역(range / image of domain)
  • 함수의 축소(restriction of function, 정의역의 부분집합을 정의역으로 하는 똑같은 함수)
  • 단사/일대일함수(injective, one-to-one), 전사(surjective, onto), 전단사/일대일대응(bijective, one-to-one correspondence)
  • 집합의 상(image), 역상(preimage)
• §3. 관계(Relation)
  • 동치관계(equivalence, relation) : 반사, 대칭, 전이성을 모두 만족하는 집합 위의 관계
    • 동치류(equivalence class) : 서로 동치관계에 있는 원소들의 집합.
      Thm. 동치류는 equal 아니면 disjoint이다.
      Col. 따라서 어떤 집합 X위의 관계 R이 있을 때, X는 R의 동치류들로 분할(partition)된다.
    • Partition
      
  • 순서관계(order relation): 반사(혹은 비반사), 추이성을 만족하는 관계
    • 준순서(quasi-order): 반사, 추이
    • 부분순서(partial order): 반사, 반대칭, 추이
    • 전순서(total order): 모든 원소가 비교가능, 반대칭, 추이
    • 각각 관계가 정의된 집합 $A$와 $B$ 사이의 어떤 일대일 대응이 순서를 보존하면 두 집합은 같은 order type을 가졌다고 말한다.
    • 위(아래)로 유계, 상한(하한)
• §4. 정수와 실수
  • 이항 연산(binary operation) on a set $A$: function f mappiong $A \times A$ into $A$
  • 자연수의 정렬성(Well-ordering property): 양의 정수의 부분집합에는 최소 원소가 존재
  • 강한 수학적 귀납법(Strong induction principle):
    S(1) 참, S(1)~S(k) 참 => S(k+1) 참 $\forall k \in A \subset \mathbb{N}$, then $A=\mathbb{N}$
• §5. Cartesian Product (생략)
• §6. Finite Sets / §7. Countable and Uncountable Sets
  • 집합의 유한(finite) -> 기수(cardinality)는 원소의 개수
  • 가산성(countable): 자연수와 일대일대응 존재시 가산집합, 그렇지 않은 무한집합은 비가산집합(uncountable)

• §8. Recursive definition (생략)

• §9. 무한집합과 선택공리(Axiom of Choice)

• §10. 정렬순서집합(Well ordered set)
  • 순서관계 $\mathscr{R}$의 정렬성(Well-orderedness): 모든 공집합이 아닌 부분집합이 최소 원소를 가지고 있는 성질
  • Well-ordering theorem: 모든 집합에 well-ordering인 order relation이 존재함
• §11. 최댓값 원리(Maximum Principle) (생략, 정렬 원리랑 동치임)

참고자료

[1] Munkres, James R.. Topology. 2nd ed.

글쓴이의 부탁

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각주

[1]: 글쓴이는 이 번역용어가 통 입에 달라붙지를 않는다… 일반적으로 집합을 원소로 하는 집합을 말한다. 협의(狹義)로는 어떤 집합 $X$의 부분집합의 집합을 집합 $X$의 집합족이라고 부른다.